1.3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Построить эпюры поперечных сил и изгиба­ющих моментов для балки, представленной на рис. 1.11.

Дано: М= 40 кН*м, сила F= 50 кН, интенсивность равномер­но распределенной нагрузки р = 10 кН/м. Весом балки пренебречь.

р 1-11

Рисунок 1.11

Решение. Рассмотрим равновесие балки как свободного те­ла, для чего заменим действие опор на балку реакциями. Опора С — шарнирно-неподвижная. Реакцию опоры представим со­ставляющими Су и Сх, проходящими через ось шарнира. Опо­ра D — шарнирно-подвижная. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира и направлена вертикально перпендикуляр­но оси балки.

Таким образом, на балку действует уравновешенная плос­кая система сил. Для нахождения неизвестных Су , Сх ,и Dy со­ставим условие равновесия в виде (1.12):

∑mc(F) = Dy*5-F*3 +М-р*3-4,5 = 0;

∑mD(F) = Cy*5-M-F*2-p**0,5 = 0;

∑FX=CX= 0.

Последнее уравнение необходимо для определения состав­ляющей Сх, которая в нашей задаче равна нулю, так как силы, действующие на балку, параллельны оси у. При решении по­добных задач составляющую реакции Сх на схеме можно не указывать.

Решение уравнений равновесия определяет

Dy=(F*3-M+3p*4.5)/5=(15-40+3*10*4.5)/5=22 кН;

Сy=(F*2-M+1.5p+M)/5=(10*1+1.5*10+40)/5=13 кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций составим уравнение равновесия в виде суммы проекций сил на ось y:

∑Fy=Dy-F+Cy-3p=22 - 5 + 13 - 3*10 = 0.

Опорные реакции определены верно. Теперь нам известны все внешние силы, действующие на балку.

Разбиваем балку на четыре участка. За границы участков принимаем сечения, где приложены внешние сосредоточен­ные силы и момент, а также начало и конец распределенной нагрузки.

В пределах первого участка проводим произвольное попе­речное сечение на расстоянии х1 от левой опоры (точки C, принимаемой за начало внешней неподвижной системы коор­динат.

Мысленно отбрасываем правую часть балки и, применяя принцип независимости действия сил с учетом принятого пра­вила знаков, составляем уравнение для Qx1 и Мx1 на первом участке. С целью правильного применения правила знаков для изгибающего момента рекомендуется в рассматриваемом сече­нии мысленно ставить защемление, а действие опор представлять реакциями (см. рис. 1.11).

1участок: 0 ≤ х1 ≤ 2 м;

Qx1= Сy = 13 кН;

Мх1= Cy*xl=13* xl.

Из уравнений следует, что на первом участке поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линей­ному закону.

Задав xl значения, соответствующие границам участка, найдем

Мх1=0=0;

Мх1=2м=13*2 = 26 кН*м.

Строим эпюры для первого участка и отмечаем на них най­денные значения Qx1 и Mx1 (см. рис. 1.11).

Аналогично проводим произвольное поперечное сечение в пределах второго участка на расстоянии х2 от начала коорди­нат.

Отбрасываем мысленно правую часть балки и, рассматри­вая силы, действующие на оставшуюся часть, составляем урав­нения Qx2 и Мx2 для второго участка.

II участок: 2 х2 3 м;

Qx2= Сy = 13 кН;

МХ2 = Су2-М = 13*х2-40.

На втором участке поперечная сила постоянная, не зависит от х2, а изгибающий момент представляет собой линейную функцию, для построения которой достаточно найти ее значе­ние в двух точках, соответствующих границам участка:

МХ2=2м =13*2-40=-14 кН*м;

МХ2=3м =13*3-40=-1 кН*м.

По вычисленным значениям строим эпюры Qx2 и Мx2 втором участке (см. рис. 1.11).

Проводим сечение в пределах третьего участка на расстоя­нии x3 от начала координат. Рассматривая силы, действующие на левую часть балки, составляем уравнения Qx3 и Мx3 для третьего участка.

III участок: 3 х35 м;

Qx3 = Сy -F - P(x3-3)= 8-10(x3-3);

МХ2 = Су3-М-F(x3-3)-p(x3-3)2/2 =

=13x3-40-5(x3-3)-10(x3-3)2/2.

Из уравнений следует, что функция Qx3=f(x3) является линейной, функция Мх3=f(x3) является квадратичной и представляет собой параболу.

Подставив в уравнения Qx3 и Мх3 граничные значения, получим

Qx3=3м = 8-10*(3-3)=8 кН;

Qx3=5м = 8-10*(5-3)=-12 кН;

Мx3=3м = 13*3-40=-1 кН*м;

Мx3=5м = 13*5-40-5(5-3)-10(5-3)2/2=-5 кН*м;

Для построения параболы можно вычислить значение изги­бающего момента в промежуточном сечении на участке или воспользоваться дифференциальной зависимостью между Qx3 и Мх3 и по значениям поперечной силы построить гра­фик функции Мх3. Так как на третьем участке поперечная сила Qx3 непрерывно убывает и происходит смена ее знака, то в сечении, где Qx3= 0, эпюра моментов Мх3 должна иметь экстремальное значение, вычисление которого является обяза­тельным. Эпюра Мх3 будет представлять собой параболу, расположенную вогнутостью вниз.

Для определения экстремального значения Мх3 необходимо взять первую производную Мх3 по х3 и, приравнивая ее ну­лю или (что то же самое) приравнивая нулю выражение попе­речной силы, найти на участке координату х3 сечения с экс­тремальным значением изгибающего момента. Подставив по­лученное значение х3в уравнение моментов для рассматриваемого участка, вычислим величину искомого экс­тремального момента:

Qx3=8-10(x3-3)=0;

x3эк=38/10=3,8 м;

Mx3=3.8м=13*3,8-40-5(3,8-3)-10(3,8-3)2/2=2,2 кН*м

Построим эпюры Qx4 и Мx4 для последнего четвертого участка.

Заметим, что начало координат фиксируется только для рассматриваемого участка; для других участков его положение может меняться по усмотрению исследователя. В нашем слу­чае для четвертого участка удобно начало координат выбрать в точке В. Проводим сечение в пределах четвертого участка на расстоянии x4 от начала координат (точки В). Отбрасываем мысленно левую часть балки и, рассматривая внешние силы, приложенные к правой части балки, составляем уравнения Qx4 и Мx4:

IV участок: 0 х41 м;

Qx4 = p*x4= 10 x4;

МХ4 = -p(x24/2) =-10(x24/2);

Подставив числовые значения x4 на границах участка, получим

Qx4=0 = 0;

Qx4=1м=10*1=10 кН;

Mx4=0 = 0;

Mx4=1м=-10*12/2=-10 кН*м;

По полученным данным, используя дифференциальную за­висимость между М и Q, строим эпюры на четвертом участке (см. рис. 1.11). Контроль правильности построения эпюр по приведенным ранее положениям сопротивления материалов показывает, что эпюры Qx и Мх построены верно. Из эпюр следует, что максимальная вели­чина поперечной силы и максимальная величина изгибающего момента действуют в сечении, где приложен сосредоточенный момент Qmax=13 кН; Mmax=26 кН*м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *