1.4. Расчет балки с промежуточным шарниром

Построить эпюры поперечных сил Q и изгиба­ющих моментов М для балки, имеющей промежуточный шар­нир (рис. 1.12).

Дано: М= 16 кН*м, F= 24 кН, p = 10 кН/м.

Решение. Заданная балка состоит из двух частей, соединен­ных в точке С шарниром. Так как шарнир позволяет частям балки свободно поворачиваться относительно друг друга, то в шарнире С в результате взаимодействия частей возникнет ре­акция Cy, а момент Мс будет равен нулю.

р1-12

Рисунок 1.12

Следовательно, для определения опорных реакций в таких балках к трем уравнениям равновесия добавляется условие, чтобы сумма моментов относительно шарнира С всех сил, при­ложенных к правой или левой частям балки, равнялась нулю. Написав сумму проекций всех сил на горизонтальную ось х, сумму моментов всех сил относительно опорных шарниров В, D и сумму моментов относительно шарнира С сил, действу­ющих только на левую или только на правую части балки, решив систему четырех уравнений, получим реакции Ву Вх, Мв, Dy.

Нахождение реакций можно упростить, расчленив задан­ную балку по шарниру С на две части (рис. 1.12). Найдем ре­акцию на опоре D, для чего составим уравнение моментов сил, приложенных к части СК, относительно шарнира С:

∑mc=M-Dy*2+p*2*1=0;

Dy=(M+p*2*1)/2=(16+10*2*1)/2=18 кН.

Часть балки СК, взаимодействуя с концом консоли ВС, вос­принимает в шарнире С реакцию Су от консоли и взаимно действует на конец консоли ВС такой же силой Су. Составив уравнения моментов относительно опорного шарнира D, опре­делим силу взаимодействия Су между частями балки:

∑mD=F*2+p*2*1-M-Cy*2=0;

Cy=(F*2+p*2*1-M)/2=(24*2+10*2*21-16)/2=26 кН

Прикладываем силу Су к концу консоли и из условия равно­весия консольной балки ВС определяем реакции Вх и Вy в за­щемлении и реактивный момент Мв.

∑Y=By-p*3-Cy=0;

By=10*3+26=56 кН;

∑X=0;

Bx=0;

∑mB=MB-p*3*1.5-Cy*3=0;

MB=10*3*1.5+26*2=123 кН*м.

Правильность вычисления реакций проверяем, составляя сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму момен­тов относительно точки В:

∑Y=56-24-5*10+18=0;

∑mB=123-10*5*2,5-24*3+18*5-16=0.

Реакции определены верно.

Необходимо отметить, что шарнир С будет точкой раздела участков, если в нем приложена сосредоточенная сила; изгиба­ющий момент в шарнире всегда равняется нулю.

Балка имеет три участка.

I участок: 0 ≤ х1 ≤ 3 м ;

Qx1=By-p*x1=56-10x1.

Подставив числовые значения х1 на границах участка, по­лучим

Qx1=0=56 кН;

Qx1=3=56-10*3=26 кН;

Mx1=By*x1-MB-p*x12/2=56x1-123-10 x12/2;

Mx1=0=-123 кН*м;

Mx1=3=56*3-123-10*32/2=0.

По полученным данным строим эпюру Qx1, согласно кото­рой строим эпюру Mx1. Эпюра Mx1 представляет собой параболу, направленную выпуклостью вверх.

II участок: 3 ≤ х2 ≤ 5 м ;

Qx2=By-p*x2-F=56-10x2-24=32-10x2.

Подставляя числовые значения х2 на границах участка, по­лучим

Qx2=3=32-10*3=2 кН; Qx2=5=32-10*5=-18 кН.

Так как на участке поперечная сила меняет знак, то найдем координату х2эк , где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент имеет экстремальное значение:

Qx2=32-10*x2эк=0 кН;

x2эк=32/10=3,2 м;

Mx2=-MB+By*x2-px22/2-F(x2-3)=

=-123+56*x2-10x22/2-24(x2-3);

Mx2=3=-123+56*3-10*32/2=0;

Mx2=5=-123+56*5-10*52/2-24(5-3)=-16 кН*м;

Mx2=3,2=-123+56*3,2-10*3,22/2-24(3,2-3)=0,2 кН*м.

III участок: 0 ≤ х3 ≤ 2 м ;

Qx3=0; Mx3=-M=-16 кН*м.

По полученным данным строим эпюры на третьем участке. Контроль правильности построения эпюр по приведенным по­ложениям показывает, что эпюры построены верно. Из эпюр следует, что максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента возникают в защемлении:

Qmax=56 кН; Mmax=123 кН*м.

Построение эпюр балки

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *