Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 6.8 а. Решение.

Определим опорные реакции, составив суммы моментов относительно точек A и В. (рис 6.8 а)

Здесь 1/2 q * 3a = 1/5 qa -равнодействующая распределенной нагрузки. Как известно, равнодействующая распределенной нагрузки, эпюра которой треугольник, равна площади этого треугольника и проходит через его центр тяжести (точка С на рис. 6.8, а); расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно 1/3 * За = а.


откуда VА=qa

Для проверки используем уравнение ΣY = 0:

следовательно, опорные реакции определены правильно. Заданная балка имеет три участка нагружения. Эти участки указаны на рис. 6,8, б. Строим эпюру поперечных сил. На участке I распределенная нагрузка отсутствует, следовательно, Qi = const. Внешней силой, действующей на левую отсеченную' часть (см. сечение 1 - 1 на рис. 6.8, б), является реакция VA, стремящаяся повернуть эту часть по ходу часовой стрелки, следовательно,


На участке II поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы. Значение ее в сечении D известно: QD = Q1= qa. Найдем значение Q в сечении E:


Здесь l,5 qa - равнодействующая всей распределенной нагрузки. В сечении Е касательная к эпюре Q параллельна оси балки, так как в этом месте интенсивность распределенной нагрузки qz = qЕ = 0. На участке III поперечная сила постоянна (на этом участке отсутствует распределенная нагрузка)


Определим координату z0 сечения К, в котором поперечная сила равна нулю. Для этого нужно составить уравнение, дающее закон изменения Q на участке II, и приравнять величину Q нулю. Проведем произвольное сечение 2 - 2 на участке II (рис. 6.8, б) и рассмотрим равновесие левой отсеченной части (отдельно ее непоказываем). Внешними силами, действующими на левую отсеченную часть, являются реакция VA и равнодействующая той части распределенной нагрузки, которая приложена к балке левее рассматриваемого сечения. Соответствующая часть эпюры нагрузки - трапеция с основаниями q и q z и высотой z-a.

Так как запоминать формулу, определяющую положение центра тяжести трапеции, нецелесообразно, то для того, чтобы не обращаться к справочникам, представим трапецию в виде простейших фигур: прямоугольника и треугольника. Определим qZo. Подставляя в выражение qz вместо текущей координаты z = z0 = 2,27 a получаем:

Здесь 0,577 q (1,27 a)? /2---момент от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью qz = 0,577q, расположенной слева от сечения K; ? 0,423q 1,27a 2/3 1,27a - момент от нагрузки, распределенной по линейному закону и расположенной слева от сечения K; эпюра этой части нагрузки - треугольник (в сечении D), ее интенсивность равна q - qZa = 0,423q).

Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 6.8, г. Уравнения для QIl и в особенности для МII целесообразнее составлять, рассматривая не левую, как выше, а правую отсеченную часть балки. При этом математические выкладки упрощаются*. Убедимся в справедливости сказанного. Рассматривая подобные треугольники МЕР и LED (рис. 6.8, д), находим:

или


Составляем выражение для определения поперечных сил в сечениях участка II


Приравнивая правую часть этого выражения нулю, получаем квадратное уравнение


* Менее рациональный способ составления уравнений для QII и МII показан в этой задаче ранее рационального способа. Сделано это затем, чтобы читатель разобрал оба способа и имел возможность их сопоставить, а не просто принял на веру указание о том, какой подход целесообразнее.

Решая полученное уравнение, находим, z10 = 3,73 а (второй корень уравнения z10 = 0,67 а лишен смысла). Составляем выражение, определяющее закон изменения МII

Подставив сюда zi = z10= 3,73a, найдем максимальный изгибающий момент