Задача 1. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжении и перемещений поперечных сечений по длине ступен- чатого бруса, нагруженного.как показано на рис. 5, а. Материал бруса сталь Ст. 3; Е = 2,0-10^5 н/мм^2.

Решение. Разобьем брус на отдельные участки начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка При применении метода сечений, как известно, принципиально безразлично, равновесие какой из отсеченных (левой или правой частей бруса рассматривать. В данном случае, применяя метол сечении, будем оставлять левую и отбрасывать правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки. Проведем произвольное сечение а - а на участке I и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 5, б. Продольная сила в этом сечении N1 = Р, эту силу находим, проек- дируя на ось z бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Легко видеть, что то же значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка II, т. е. Ni=N 11 = = Р (для произвольного сечения b- b, проведенного на участке II, продольная сила определяется на основе рис. 5, б). Проводя сечение на участке III, например с- с, и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис. 5, г, найдем:

После приобретения некоторого навыка в применении метода сечений можно не изображать отдельно отсеченную часть, а просто пользоваться соотношением


Заметим, что реакция заделки равна 3 Р. Таким образом, если определять значения продольных си л, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть бруса, конечно, получим те же результаты.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется N по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного или даже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении бруса (рис. 5, д). Эпюру нормальных напряжений (рис. 5, е) получим, разделив значения N на соответствующие площади поперечных сечений бруса. Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.

Абсолютное (т. е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение Δ произвольного поперечного сечения равно изменению длины части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями. Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемаенного конца. Перемещение произвольного сечения с-с, взятого в пределах участка III бруса, равно удлинению части бруса длиной z (см. рис. 5, а)

Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечений, совпадающих с границами участков. Перемещение сечения С (Ас) равно удлинению участка CD


Перемещение сечения В относительно сечения С равно удлинению участка ВС


Абсолютное перемещение сечения В равно перемещению сечения С плюс перемещение сечения В относительно С


Перемещение сечения А относительно В равно удлинению участка АВ:


Абсолютное перемещение сечения А найдем, просуммировав величины ΔВ и ΔА-в


Построенная по полученным данным эпюра перемещений показана на рис. 5, ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечений, являющихся границами участков. Следует иметь в виду, что тангенсы углов наклона отдельных участков эпюры А пропорциональны ординатам эпюры а на соответствующих участках. Так, например, для участка II:


Указанную зависимость между эпюрами рекомендуется использовать для, так сказать, качественного контроля эпюры перемещений, т. е. не для окончательной оценки правильности эпюры, но, по крайней мере, для оценки ее правдоподобности. Имеются в виду следующие показатели правдоподобности эпюры А: а) чем больше ординаты эпюры Δ, тем больший наклон к оси абсцисс имеет эпюра А (предполагается, что материал всех участков бруса одинаков); б) при перемене знака а меняет знак тангенс угла наклона эпюры А. Рис. 6 иллюстрирует построение эпюры перемещений на основе принципа независимости действия сил. На рис. 6, б показана эпюра Δр от действия только силы Р (рис. 6, а), а на рис. 6, г - эпюра Δ2р от действия только силы 2Р(рис. 6, в). Просуммировав указанные эпюры, получим эпюру по рис. 5, ж. Задача 6. Определить удлинение дюралюминиевой полосы переменного сечения (рис. 2.3). Принять Е = 0,7-10^5 н/мм^2. Решение. Для определения удлинения бруса (полосы) непрерывно переменного поперечного сечения применим формулу


В нашем случае N = P = const;


Переменную площадь сечения F следует выразить через заданные размеры и координату z поперечного сечения; при этом для упрощения последующих выкладок примем начало координат в точке О пересечения боковых сторон трапеции, представляющей собой вертикальную проекцию полосы (рис. 2.4). Из подобия треугольников АВО и CDO получаем:



Площадь F произвольного поперечного сечения с абсциссой z F = bz δ,
при этом


Подставив значение F в формулу для удлинения, получим


Подставив числовые значения, найдем:


Задача 2. Определить диаметры поперечных сечений стержней АВ, АС и CD, поддерживающих узел машины (рис. 2.5, а]. Допускаемые напряжения: на растяжение [Δр] = 1400 кГ/см2, на сжатие* [Δс] = 1000 кГ/см*. Решение. 1. Применяя метод сечений, разрезаем стержни возникающие в них продольные силы обозначаем соответственно'

в стержне АВ - N1,
в стержне АС - N2
в стержне CD - N3.

Рассматриваем равновесие узла ВСЕ под действием приложенных к нему сил Р, N1, N2, N3 (Рис- 2.5, б). Предполагаем, что все стержни растянуты, т. е. направляем усилия от шарниров В и С. 2. Определяем усилия в стержнях.

* Допускаемое напряжение на сжатие примято пониженным для того, чтобы сжатый стержень получился менее гибким, т. е. была бы исключена опасность его выпучивания (потери устойчивости).

где α-угол между N3 и горизонталью


Знак минус указывает, что стержень CD сжат.


3. Определяем требуемые площади сечений стержней и их диаметры:


* Момент силы Nз определяем как сумму моментов ее горизонтальной и вертикальной составляющих.